Principe additif

Propriété

Soit $k$   un entier naturel non nul.
Soit $k$ ensembles $E_1,E_2,...,E_k$ deux à deux disjoints.
Alors   $\text{Card}(E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_k)=\text{Card}(E_1)+\text{Card}(E_2)+\cdots +\text{Card}(E_k)$ .

Exemple

On considère l'ensemble des 8 classes de terminale générale dans un lycée, numérotées TG1 à TG8. On note $E_1$ l'ensemble des élèves de la classe de terminale générale TG1, $E_2$  l'ensemble des élèves de la classe de terminale générale TG2, etc.  Alors le nombre total d'élèves en terminale générale dans ce lycée est donné par :  $\text{Card}(E_1)+\text{Card}(E_2)+\cdots +\text{Card}(E_8)$ .

Définition  

Soit $E$ un ensemble.
Soit $k$ un entier naturel non nul.
On dit que les sous-ensembles non vides  $A_1$ , $A_2$ , ..., $A_k$  forment une partition de l'ensemble $E$ lorsque les  $A_i$  sont deux à deux disjoints et leur réunion est $E$ .

Exemples

• Dans l'exemple précédent, l'ensemble des élèves de chaque classe de terminale générale forment une partition de l'ensemble des élèves de terminale générale du lycée.
  
• L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs forment une partition de $\mathbb{N}$ .

Propriété  

Soit   $E$ un ensemble fini.
Soit $k$ un entier naturel non nul.
Si   $A_1$ , $A_2$ , ..., $A_k$ constituent une partition de $E$ , alors   $\text{Card}(E)=\text{Card}(A_1)+\text{Card}(A_2)+\cdots +\text{Card}(A_k)$ .