Principe additif

Propriété

Soit \(k\)   un entier naturel non nul.
Soit \(k\) ensembles \(E_1, E_2, ..., E_k\) deux à deux disjoints.
Alors   \(\text{Card}(E_1 \cup{} E_2 \cup{} \cdots{}\cup{} E_k)=\text{Card}(E_1)+\text{Card}(E_2)+\cdots+\text{Card}(E_k)\) .

Exemple

On considère l'ensemble des 8 classes de terminale générale dans un lycée, numérotées TG1 à TG8. On note \(E_1\) l'ensemble des élèves de la classe de terminale générale TG1, \(E_2\)  l'ensemble des élèves de la classe de terminale générale TG2, etc.  Alors le nombre total d'élèves en terminale générale dans ce lycée est donné par :  \(\text{Card}(E_1)+\text{Card}(E_2)+\cdots+\text{Card}(E_8)\) .

Définition  

Soit \(E\) un ensemble.
Soit \(k\) un entier naturel non nul.
On dit que les sous-ensembles non vides  \(A_1\) , \(A_2\) , ..., \(A_k\)  forment une partition de l'ensemble \(E\) lorsque les  \(A_i\)  sont deux à deux disjoints et leur réunion est \(E\) .

Exemples

• Dans l'exemple précédent, l'ensemble des élèves de chaque classe de terminale générale forment une partition de l'ensemble des élèves de terminale générale du lycée.
  
• L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs forment une partition de \(\mathbb N\) .

Propriété  

Soit   \(E\) un ensemble fini.
Soit \(k\) un entier naturel non nul.
Si   \(A_1\) , \(A_2\) , ..., \(A_k\) constituent une partition de \(E\) , alors   \(\text{Card}(E) = \text{Card}(A_1)+\text{Card}(A_2)+ \cdots{} +\text{Card}(A_k)\) .